GRADO NOVENO

Las matemáticas han sido consideradas desde la historia de la humanidad la clave para entender las leyes del universo y la naturaleza.  Siendo estas, la esencia fundamental de los lenguajes utilizados dentro del desarrollo de la ciencia y la tecnología. Nuestro mundo moderno que ha alcanzado un gran desarrollo en todas las áreas de la actividad humana está determinado por la aplicación de las estructuras matemáticas. De esta forma, siempre que intentemos comprender nuestra realidad, nos veremos en la absoluta necesidad de acudir a nuestros conocimientos y formación de esta importante y trascendental disciplina, que día a día nos ofrece nuevas herramientas y alternativas para acceder, conocer y entender desde  lo más sencillo a lo más complejo en nuestra naturaleza.

Este módulo esta siendo diseñado especialmente para los estudiantes del grado undecimo de la Institucion Educativa Gimnasio Gran Colombiano de Tunja, con los mejores elementos pedagógicos para permitir la comprensión de los temas determinados en cada una de las unidades de una forma sencilla y lúdica, donde se demuestra que el aprendizaje de las matemáticas nos permite tener una mejor relación con el entorno donde vivamos. En la medida en que hagamos del lenguaje matemático una parte esencial de nuestro pensamiento y actitud, contribuiremos a enriquecer ante la comunidad y ante todos aquellos que nos rodean, su aplicabilidad.

Los ejercicios plasmados los invita a formar y fortalecer el pensamiento matemático de todos aquellos que emprendan la tarea de desarrollarlos, para ser cada día más competentes y productivos en pro del mejoramiento de la calidad de vida.

Este trabajo se esta elaborando con especial cariño para todas aquellas personas que desean superarse, alcanzando logros, partiendo de su experiencia de vida.

Afectuosamente,

Nubia Lucia Castillo Castellanos

Estimados estudiantes: Por favor dar solucion al taller ludico que quedo pendiente antes de vacaciones, por favor solicitar los cuadernos a la profesora Yadira Herrera. Cualquier duda por favor preguntarle a la profesora Yadira Herrera o al telefono 3002170913.

Los invito a que exploren este blog y copien en sus cuadernos los parametros para la elaboracion  de proyectos de investigación.  Cuando regrese socializaremos este tema para que elaboren un proyecto de aula en grupos de 3 o 4 estudiantes sobre matematicas recreativa. Para cumplir con este objetivo deben presentar trabajo escrito, maqueta o prototipo, y sustentarlo  en 10 minutos a través de diapositivas,  primero ante sus compañeros con jurado calificador para seleccionar los mejores proyectos, yo les explicare personalmente cuando regrese.

TRABAJO EN GRUPO EN LAS HORAS DE CLASE DE MATEMATICAS

ESTADISTICA BASICA

Al final estan las actividades a desarrollar

La importancia que tiene la matemática en el desarrollo de los procesos intelectuales del hombre  es notoria a través de su historia. Fue así como en la antigüedad el pensamiento matemático contribuyó a resolver problemas en tareas económicas y constructoras de diferentes pueblos, dio la base para revelar   los misterios del mundo, es decir, dar explicaciones razonables para alcanzar la verdad de los fenómenos que lo suceden. Contrariamente a los griegos, los hombres de la edad media utilizaron el contenido matemático como una simple rutina para disciplinar la mente. Sin embargo, a partir de los trabajos de Galileo, la matemática en la edad moderna ayudó a buscar explicaciones concretas de problemas que se daban en ingeniería, construcción y otras actividades prácticas del hombre.

Por tal motivo, gracias al medio, las personas están rodeadas constantemente por un conjunto de experiencias, que manejan y manipulan de una manera sorprendente. Es decir, en cierta forma se está efectuando una serie de operaciones: recoge, organiza, analiza e interpreta esas informaciones mediante unas representaciones significativas para él y así se obtiene una serie de conclusiones razonables.

Esta información que de cierta manera se manipula, se debe matematizar. Es decir, seguir un procedimiento para poder tabular la información, presentarla y así hacer el análisis respectivo para dar las conclusiones pertinentes al estudio que se está realizando.

La Estadística es utilizada en casi todas las ramas de la ciencia moderna, así como en muchos otros campos de la actividad humana. Como dijo Salomón Fabricant “todo el mundo parece hoy coincidir en que la Estadística puede ser útil para comprender, evaluar y controlar el funcionamiento de la sociedad”. En nuestra sociedad, el progreso puede medirse mediante diversos índices numéricos, la estadística se utiliza para describir, manipular e interpretar estos números.

La Estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. La agrupación de datos son ordenados en forma sistemática en cuadros o tablas de frecuencias, diagramas y/o gráficos.

La investigación Estadística es toda operación orientada a la recopilación de información sobre una población; algunos aspectos básicos se aplican al objetivo de ésta ciencia, los cuales son: Objeto de la Investigación, Unidad de la Investigación, Recolección de la información, Procesamiento de la información, Publicación, entre otros.

Los datos que se manejan en ésta ciencia son medidas, valores o características susceptibles de ser observados y contados. Se obtienen de una población o universo colectivo que es el conjunto de todos los elementos, medidas, individuos u objetos que tienen una característica común.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA: Es la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Es decir, este método estadístico es empleado para estudiar el comportamiento de los datos, se ordenan en intervalos de clase y se indica el número de datos comprendidos en cada clase. Algunos términos básicos manejados  son:

POBLACIÓN: corresponde al conjunto referencial, conjunto de resultados producto a medir Ej.: grupo de estudiantes, llamadas registradas en una factura, días del año etc…

MUESTRA: Conjunto representativo o subconjunto del la población  sobre los cuales  se recoge la información.

MUESTREO: Es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.

TIPOS DE MUESTREO: Muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad.

DISTRIBUCION FRECUENCIAS O TABLA DE FRECUENCIAS: es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente

FRECUENCIA ABSOLUTA: número de veces o eventos o casos que aparece un determinado valor o que sucede en el intervalo  o característica de agrupamiento. Se representa por f_i.

SUMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS: Es igual al número total de datos, que se representa por N.

       f₁   + f₂  + f₃  + f₄  +…….+ f_n = N

 Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Σ f_{i = N}

FRECUENCIA RELATIVA: Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento (%) y se representa por n_i.

n_{i =}    f_{i / N}                                                       

Donde f_i es la frecuencia absoluta y N es la suma total  de las frecuencias absoluta.

FRECUENCIA ACUMULADA: Frecuencia total menores del límite superior del intervalo  de clase.

LA AMPLITUD DEL INTERVALO: Determina la diferencia entre los límites reales de un intervalo de clase.

MARCA DE CLASE: Es el valor correspondiente al punto medio o mediano de un intervalo de clases. Su valor es igual a la mitad de la suma de los límites inferior y superior del intervalo de clase.

GRAFICAS UTILIZADAS EN ESTADISTICA: Las principales graficas utilizadas  en estadística son: Gráfica de Barras, líneas, torta o circular, polígono de frecuencias, histograma, Ojivas entre otras.

MEDIDAS  DE TENDENCIA CENTRAL: La frecuencia es conveniente resumirla con un solo número de la información. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos. Las medidas de tendencia central son la media aritmética, la mediana y la moda.

Media aritmética de cierto número de cantidades: es la suma de sus valores dividido por su número.

Mediana: es la medida de tendencia central que divide en dos partes iguales.

Moda: es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Ejemplo:

1.      Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes:

5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 1, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7.

a) Ordenar los datos anteriores en orden ascendente y calcular las frecuencias.

b) Hacer un diagrama de barras de las frecuencias absolutas y dibujar el polígono de frecuencias.

SOLUCION: a) Cálculo de frecuencias

Ordenamos los datos contando los alumnos que han sacado un 0 han sido 2, un 1 han sido 3 y así sucesivamente. Construimos la tabla correspondiente:

N: número total de datos N = 30.

X_i: variable estadística,  nota del examen.

f_i: frecuencia absoluta, número de veces que se repite una nota. El sumatorio nos da los datos totales N = 30.

F_i: frecuencia absoluta acumulada. F ₂ = f ₁ + f₂= 2 + 3 = 5 F ₃ = F ₂ +  f ₃ = 5 + 1 = 6

h_i: frecuencia relativa. Cociente f i / N

sumatorio (suma de todos los datos de la columna correspondiente)

x i	f i	F i	h i = f i / N	H i
0	2	2	2 /30	2/30
1	3	5	3/30	5/30
2	1	6	1/30	6/30
3	1	7	1/30	7/30
4	1	8	1/30	8/30
5	3	11	3/30	11/30
6	2	13	2/30	13/30
7	5	18	5/30	18/30
8	7	25	7/30	25/30
9	5	30	5/30	30/30
total	30	30	1

b)  Diagrama de barras de frecuencia absoluta y polígono de frecuencias

En el diagrama de barras vemos que la barra más alta es la correspondiente a la nota 8, la han obtenido 7 alumnos. La barra más baja se corresponde con las notas 2, 3 y 4 que sólo las han obtenido un alumno.

El polígono de frecuencias es bastante irregular, sube entre las notas 0 y 1 (más alumnos). Es constante en las notas 2, 3, y 4.

El pico más alto se corresponde con la nota 8, la más abundante, 7 alumnos es la moda. 

ACTIVIDADES A DESARROLLAR:

1.      Copia en el cuaderno todo el contenido de  sobre estadística básica.

2.      Estudia y analiza cada término anotado y revise  el ejemplo para reforzar el conocimiento.

3.      Halla la media aritmética y la mediana del ejemplo dado

4.      Investiga todo lo relacionado con datos no agrupados y datos agrupados y de 2 ejemplos de cada uno de ellos, planteado el ejercicio dar solución a:

·         Ordena todos los datos una vez ordenados en forma ascendente de cada ejemplo.

·         Realiza las tablas con las frecuencias respectivas.

·         Grafica en diagrama de barras, polígono de frecuencia, ojiva y diagrama circular de cada ejercicio planteado.

·         Halla  la población, la media aritmética, la mediana y la moda de cada ejercicio.

·         Investiga sobre: Tipos de muestreo. Que es una variable cuantitativa discreta. Medidas de Dispersión: Desviación estándar, desviación media y varianza. Aprovecha el internet al máximo, a continuación te propongo algunos links para que los consultes y amplíes  toda esta temática de estadística:

 http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html  http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml

http://html.rincondelvago.com/estadistica_15.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada.

GRADO DECIMO

Las matemáticas han sido consideradas desde la historia de la humanidad la clave para entender las leyes del universo y la naturaleza.  Siendo estas, la esencia fundamental de los lenguajes utilizados dentro del desarrollo de la ciencia y la tecnología. Nuestro mundo moderno que ha alcanzado un gran desarrollo en todas las áreas de la actividad humana está determinado por la aplicación de las estructuras matemáticas. De esta forma, siempre que intentemos comprender nuestra realidad, nos veremos en la absoluta necesidad de acudir a nuestros conocimientos y formación de esta importante y trascendental disciplina, que día a día nos ofrece nuevas herramientas y alternativas para acceder, conocer y entender desde  lo más sencillo a lo más complejo en nuestra naturaleza.

Este módulo esta siendo diseñado especialmente para los estudiantes del grado undecimo de la Institucion Educativa Gimnasio Gran Colombiano de Tunja, con los mejores elementos pedagógicos para permitir la comprensión de los temas determinados en cada una de las unidades de una forma sencilla y lúdica, donde se demuestra que el aprendizaje de las matemáticas nos permite tener una mejor relación con el entorno donde vivamos. En la medida en que hagamos del lenguaje matemático una parte esencial de nuestro pensamiento y actitud, contribuiremos a enriquecer ante la comunidad y ante todos aquellos que nos rodean, su aplicabilidad.

Los ejercicios plasmados los invita a formar y fortalecer el pensamiento matemático de todos aquellos que emprendan la tarea de desarrollarlos, para ser cada día más competentes y productivos en pro del mejoramiento de la calidad de vida.

Este trabajo se esta elaborando con especial cariño para todas aquellas personas que desean superarse, alcanzando logros, partiendo de su experiencia de vida.

Afectuosamente,

Nubia Lucia Castillo Castellanos

Estimados estudiantes: No olviden trabajar el proyecto de investigación, los parámetros de la elaboración esta en este blog, explorarlo por favor. Deben presentar trabajo escrito, maqueta o prototipo, y sustentarlo  en 10 minutos a través de diapositivas,  primero ante sus compañeros con jurado calificador para seleccionar los mejores proyectos para exponerlos en la Feria de la ciencia, tecnologia y artes. Cualquier duda por favor preguntarle a la profesora Yadira Herrera o al telefono 3002170913 o a mi correo electronico de yahoo que tienen.

TRABAJO EN GRUPO EN LAS HORAS DE CLASE DE MATEMATICAS

La importancia que tiene la matemática en el desarrollo de los procesos intelectuales del hombre  es notoria a través de su historia. Fue así como en la antigüedad el pensamiento matemático contribuyó a resolver problemas en tareas económicas y constructoras de diferentes pueblos, dio la base para revelar   los misterios del mundo, es decir, dar explicaciones razonables para alcanzar la verdad de los fenómenos que lo suceden. Contrariamente a los griegos, los hombres de la edad media utilizaron el contenido matemático como una simple rutina para disciplinar la mente. Sin embargo, a partir de los trabajos de Galileo, la matemática en la edad moderna ayudó a buscar explicaciones concretas de problemas que se daban en ingeniería, construcción y otras actividades prácticas del hombre.

Por tal motivo, gracias al medio, las personas están rodeadas constantemente por un conjunto de experiencias, que manejan y manipulan de una manera sorprendente. Es decir, en cierta forma se está efectuando una serie de operaciones: recoge, organiza, analiza e interpreta esas informaciones mediante unas representaciones significativas para él y así se obtiene una serie de conclusiones razonables.

Esta información que de cierta manera se manipula, se debe matematizar. Es decir, seguir un procedimiento para poder tabular la información, presentarla y así hacer el análisis respectivo para dar las conclusiones pertinentes al estudio que se está realizando.

La Estadística es utilizada en casi todas las ramas de la ciencia moderna, así como en muchos otros campos de la actividad humana. Como dijo Salomón Fabricant “todo el mundo parece hoy coincidir en que la Estadística puede ser útil para comprender, evaluar y controlar el funcionamiento de la sociedad”. En nuestra sociedad, el progreso puede medirse mediante diversos índices numéricos, la estadística se utiliza para describir, manipular e interpretar estos números.

La Estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. La agrupación de datos son ordenados en forma sistemática en cuadros o tablas de frecuencias, diagramas y/o gráficos.

La investigación Estadística es toda operación orientada a la recopilación de información sobre una población; algunos aspectos básicos se aplican al objetivo de ésta ciencia, los cuales son: Objeto de la Investigación, Unidad de la Investigación, Recolección de la información, Procesamiento de la información, Publicación, entre otros.

Los datos que se manejan en ésta ciencia son medidas, valores o características susceptibles de ser observados y contados. Se obtienen de una población o universo colectivo que es el conjunto de todos los elementos, medidas, individuos u objetos que tienen una característica común.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA: Es la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Es decir, este método estadístico es empleado para estudiar el comportamiento de los datos, se ordenan en intervalos de clase y se indica el número de datos comprendidos en cada clase. Algunos términos básicos manejados  son:

POBLACIÓN: corresponde al conjunto referencial, conjunto de resultados producto a medir Ej.: grupo de estudiantes, llamadas registradas en una factura, días del año etc…

MUESTRA: Conjunto representativo o subconjunto del la población  sobre los cuales  se recoge la información.

MUESTREO: Es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.

TIPOS DE MUESTREO: Muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad.

DISTRIBUCION FRECUENCIAS O TABLA DE FRECUENCIAS: es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente

FRECUENCIA ABSOLUTA: número de veces o eventos o casos que aparece un determinado valor o que sucede en el intervalo  o característica de agrupamiento. Se representa por f_i.

SUMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS: Es igual al número total de datos, que se representa por N.

       f₁   + f₂  + f₃  + f₄  +…….+ f_n = N

 Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Σ f_{i = N}

FRECUENCIA RELATIVA: Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento (%) y se representa por n_i.

n_{i =}    f_{i / N}                                                       

Donde f_i es la frecuencia absoluta y N es la suma total  de las frecuencias absoluta.

FRECUENCIA ACUMULADA: Frecuencia total menores del límite superior del intervalo  de clase.

LA AMPLITUD DEL INTERVALO: Determina la diferencia entre los límites reales de un intervalo de clase.

MARCA DE CLASE: Es el valor correspondiente al punto medio o mediano de un intervalo de clases. Su valor es igual a la mitad de la suma de los límites inferior y superior del intervalo de clase.

GRAFICAS UTILIZADAS EN ESTADISTICA: Las principales graficas utilizadas  en estadística son: Gráfica de Barras, líneas, torta o circular, polígono de frecuencias, histograma, Ojivas entre otras.

MEDIDAS  DE TENDENCIA CENTRAL: La frecuencia es conveniente resumirla con un solo número de la información. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos. Las medidas de tendencia central son la media aritmética, la mediana y la moda.

Media aritmética de cierto número de cantidades: es la suma de sus valores dividido por su número.

Mediana: es la medida de tendencia central que divide en dos partes iguales.

Moda: es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Ejemplo:

1.      Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes:

5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 1, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7.

a) Ordenar los datos anteriores en orden ascendente y calcular las frecuencias.

b) Hacer un diagrama de barras de las frecuencias absolutas y dibujar el polígono de frecuencias.

SOLUCION: a) Cálculo de frecuencias

Ordenamos los datos contando los alumnos que han sacado un 0 han sido 2, un 1 han sido 3 y así sucesivamente. Construimos la tabla correspondiente:

N: número total de datos N = 30.

X_i: variable estadística,  nota del examen.

f_i: frecuencia absoluta, número de veces que se repite una nota. El sumatorio nos da los datos totales N = 30.

F_i: frecuencia absoluta acumulada. F ₂ = f ₁ + f₂= 2 + 3 = 5 F ₃ = F ₂ +  f ₃ = 5 + 1 = 6

h_i: frecuencia relativa. Cociente f i / N

sumatorio (suma de todos los datos de la columna correspondiente)

x i	f i	F i	h i = f i / N	H i
0	2	2	2 /30	2/30
1	3	5	3/30	5/30
2	1	6	1/30	6/30
3	1	7	1/30	7/30
4	1	8	1/30	8/30
5	3	11	3/30	11/30
6	2	13	2/30	13/30
7	5	18	5/30	18/30
8	7	25	7/30	25/30
9	5	30	5/30	30/30
total	30	30	1

b)  Diagrama de barras de frecuencia absoluta y polígono de frecuencias

En el diagrama de barras vemos que la barra más alta es la correspondiente a la nota 8, la han obtenido 7 alumnos. La barra más baja se corresponde con las notas 2, 3 y 4 que sólo las han obtenido un alumno.

El polígono de frecuencias es bastante irregular, sube entre las notas 0 y 1 (más alumnos). Es constante en las notas 2, 3, y 4.

El pico más alto se corresponde con la nota 8, la más abundante, 7 alumnos es la moda. 

ACTIVIDADES A DESARROLLAR:

1.      Copia en el cuaderno todo el contenido de  sobre estadística básica.

2.      Estudia y analiza cada término anotado y revise  el ejemplo para reforzar el conocimiento.

3.      Halla la media aritmética y la mediana del ejemplo dado

4.      Investiga todo lo relacionado con datos no agrupados y datos agrupados y de 2 ejemplos de cada uno de ellos, planteado el ejercicio dar solución a:

·         Ordena todos los datos una vez ordenados en forma ascendente de cada ejemplo.

·         Realiza las tablas con las frecuencias respectivas.

·         Grafica en diagrama de barras, polígono de frecuencia, ojiva y diagrama circular de cada ejercicio planteado.

·         Halla  la población, la media aritmética, la mediana y la moda de cada ejercicio.

·         Investiga sobre: Tipos de muestreo. Que es una variable cuantitativa discreta. Medidas de Dispersión: Desviación estándar, desviación media y varianza. Aprovecha el internet al máximo, a continuación te propongo algunos links para que los consultes y amplíes  toda esta temática de estadística:

 http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html  http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml

http://html.rincondelvago.com/estadistica_15.html 

http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada.

GRADO UNDECIMO

                                                           

Las matemáticas han sido consideradas desde la historia de la humanidad la clave para entender las leyes del universo y la naturaleza.  Siendo estas, la esencia fundamental de los lenguajes utilizados dentro del desarrollo de la ciencia y la tecnología. Nuestro mundo moderno que ha alcanzado un gran desarrollo en todas las áreas de la actividad humana está determinado por la aplicación de las estructuras matemáticas. De esta forma, siempre que intentemos comprender nuestra realidad, nos veremos en la absoluta necesidad de acudir a nuestros conocimientos y formación de esta importante y trascendental disciplina, que día a día nos ofrece nuevas herramientas y alternativas para acceder, conocer y entender desde  lo más sencillo a lo más complejo en nuestra naturaleza.

Este módulo esta siendo diseñado especialmente para los estudiantes del grado undécimo de la Institución Educativa Gimnasio Gran Colombiano de Tunja, con los mejores elementos pedagógicos para permitir la comprensión de los temas determinados en cada una de las unidades de una forma sencilla y lúdica, donde se demuestra que el aprendizaje de las matemáticas nos permite tener una mejor relación con el entorno donde vivamos. En la medida en que hagamos del lenguaje matemático una parte esencial de nuestro pensamiento y actitud, contribuiremos a enriquecer ante la comunidad y ante todos aquellos que nos rodean, su aplicabilidad.

Los ejercicios plasmados los invita a formar y fortalecer el pensamiento matemático de todos aquellos que emprendan la tarea de desarrollarlos, para ser cada día más competentes y productivos en pro del mejoramiento de la calidad de vida.

Este trabajo se esta elaborando con especial cariño para todas aquellas personas que desean superarse, alcanzando logros, partiendo de su experiencia de vida.

Afectuosamente,

Nubia Lucia Castillo Castellanos

Estimados estudiantes: No olviden trabajar el proyecto de investigación, los parámetros de la elaboración esta en este blog, explorarlo por favor. Deben presentar trabajo escrito, maqueta o prototipo, y sustentarlo  en 10 minutos a través de diapositivas,  primero ante sus compañeros con jurado calificador para seleccionar los mejores proyectos para exponerlos en la Feria de la ciencia, tecnologia y artes. Cualquier duda por favor preguntarle a la profesora Yadira Herrera o al telefono 3002170913 o a mi correo electronico de yahoo que tienen.

TRABAJO EN GRUPO EN LAS HORAS DE CLASE DE MATEMATICAS

ESTADÍSTICA BÁSICA

La importancia que tiene la matemática en el desarrollo de los procesos intelectuales del hombre  es notoria a través de su historia. Fue así como en la antigüedad el pensamiento matemático contribuyó a resolver problemas en tareas económicas y constructoras de diferentes pueblos, dio la base para revelar   los misterios del mundo, es decir, dar explicaciones razonables para alcanzar la verdad de los fenómenos que lo suceden. Contrariamente a los griegos, los hombres de la edad media utilizaron el contenido matemático como una simple rutina para disciplinar la mente. Sin embargo, a partir de los trabajos de Galileo, la matemática en la edad moderna ayudó a buscar explicaciones concretas de problemas que se daban en ingeniería, construcción y otras actividades prácticas del hombre.

Por tal motivo, gracias al medio, las personas están rodeadas constantemente por un conjunto de experiencias, que manejan y manipulan de una manera sorprendente. Es decir, en cierta forma se está efectuando una serie de operaciones: recoge, organiza, analiza e interpreta esas informaciones mediante unas representaciones significativas para él y así se obtiene una serie de conclusiones razonables.

Esta información que de cierta manera se manipula, se debe matematizar. Es decir, seguir un procedimiento para poder tabular la información, presentarla y así hacer el análisis respectivo para dar las conclusiones pertinentes al estudio que se está realizando.

La Estadística es utilizada en casi todas las ramas de la ciencia moderna, así como en muchos otros campos de la actividad humana. Como dijo Salomón Fabricant “todo el mundo parece hoy coincidir en que la Estadística puede ser útil para comprender, evaluar y controlar el funcionamiento de la sociedad”. En nuestra sociedad, el progreso puede medirse mediante diversos índices numéricos, la estadística se utiliza para describir, manipular e interpretar estos números.

La Estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. La agrupación de datos son ordenados en forma sistemática en cuadros o tablas de frecuencias, diagramas y/o gráficos.

La investigación Estadística es toda operación orientada a la recopilación de información sobre una población; algunos aspectos básicos se aplican al objetivo de ésta ciencia, los cuales son: Objeto de la Investigación, Unidad de la Investigación, Recolección de la información, Procesamiento de la información, Publicación, entre otros.

Los datos que se manejan en ésta ciencia son medidas, valores o características susceptibles de ser observados y contados. Se obtienen de una población o universo colectivo que es el conjunto de todos los elementos, medidas, individuos u objetos que tienen una característica común.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA: Es la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Es decir, este método estadístico es empleado para estudiar el comportamiento de los datos, se ordenan en intervalos de clase y se indica el número de datos comprendidos en cada clase. Algunos términos básicos manejados  son:

POBLACIÓN: corresponde al conjunto referencial, conjunto de resultados producto a medir Ej.: grupo de estudiantes, llamadas registradas en una factura, días del año etc…

MUESTRA: Conjunto representativo o subconjunto del la población  sobre los cuales  se recoge la información.

MUESTREO: Es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.

TIPOS DE MUESTREO: Muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad.

DISTRIBUCION FRECUENCIAS O TABLA DE FRECUENCIAS: es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente

FRECUENCIA ABSOLUTA: número de veces o eventos o casos que aparece un determinado valor o que sucede en el intervalo  o característica de agrupamiento. Se representa por f_i.

SUMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS: Es igual al número total de datos, que se representa por N.

       f₁   + f₂  + f₃  + f₄  +…….+ f_n = N

 Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Σ f_{i = N}

FRECUENCIA RELATIVA: Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento (%) y se representa por n_i.

n_{i =}    f_{i / N}                                                       

Donde f_i es la frecuencia absoluta y N es la suma total  de las frecuencias absoluta.

FRECUENCIA ACUMULADA: Frecuencia total menores del límite superior del intervalo  de clase.

LA AMPLITUD DEL INTERVALO: Determina la diferencia entre los límites reales de un intervalo de clase.

MARCA DE CLASE: Es el valor correspondiente al punto medio o mediano de un intervalo de clases. Su valor es igual a la mitad de la suma de los límites inferior y superior del intervalo de clase.

GRAFICAS UTILIZADAS EN ESTADÍSTICA: Las principales graficas utilizadas  en estadística son: Gráfica de Barras, líneas, torta o circular, polígono de frecuencias, histograma, Ojivas entre otras.

MEDIDAS  DE TENDENCIA CENTRAL: La frecuencia es conveniente resumirla con un solo número de la información. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos. Las medidas de tendencia central son la media aritmética, la mediana y la moda.

Media aritmética de cierto número de cantidades: es la suma de sus valores dividido por su número.

Mediana: es la medida de tendencia central que divide en dos partes iguales.

Moda: es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Ejemplo:

1.      Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las siguientes:

5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 1, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7.

a) Ordenar los datos anteriores en orden ascendente y calcular las frecuencias.

b) Hacer un diagrama de barras de las frecuencias absolutas y dibujar el polígono de frecuencias.

SOLUCION: a) Cálculo de frecuencias

Ordenamos los datos contando los alumnos que han sacado un 0 han sido 2, un 1 han sido 3 y así sucesivamente. Construimos la tabla correspondiente:

N: número total de datos N = 30.

X_i: variable estadística,  nota del examen.

f_i: frecuencia absoluta, número de veces que se repite una nota. El sumatorio nos da los datos totales N = 30.

F_i: frecuencia absoluta acumulada. F ₂ = f ₁ + f₂= 2 + 3 = 5 F ₃ = F ₂ +  f ₃ = 5 + 1 = 6

h_i: frecuencia relativa. Cociente f i / N

sumatorio (suma de todos los datos de la columna correspondiente)

x i	f i	F i	h i = f i / N	H i
0	2	2	2 /30	2/30
1	3	5	3/30	5/30
2	1	6	1/30	6/30
3	1	7	1/30	7/30
4	1	8	1/30	8/30
5	3	11	3/30	11/30
6	2	13	2/30	13/30
7	5	18	5/30	18/30
8	7	25	7/30	25/30
9	5	30	5/30	30/30
total	30	30	1

b)  Diagrama de barras de frecuencia absoluta y polígono de frecuencias

En el diagrama de barras vemos que la barra más alta es la correspondiente a la nota 8, la han obtenido 7 alumnos. La barra más baja se corresponde con las notas 2, 3 y 4 que sólo las han obtenido un alumno.

El polígono de frecuencias es bastante irregular, sube entre las notas 0 y 1 (más alumnos). Es constante en las notas 2, 3, y 4.

El pico más alto se corresponde con la nota 8, la más abundante, 7 alumnos es la moda. 

ACTIVIDADES A DESARROLLAR:

1.      Copia en el cuaderno todo el contenido de  sobre estadística básica.

2.      Estudia y analiza cada término anotado y revise  el ejemplo para reforzar el conocimiento.

3.      Halla la media aritmética y la mediana del ejemplo dado

4.      Investiga todo lo relacionado con datos no agrupados y datos agrupados y de 2 ejemplos de cada uno de ellos, planteado el ejercicio dar solución a:

·         Ordena todos los datos una vez ordenados en forma ascendente de cada ejemplo.

·         Realiza las tablas con las frecuencias respectivas.

·         Grafica en diagrama de barras, polígono de frecuencia, ojiva y diagrama circular de cada ejercicio planteado.

·         Halla  la población, la media aritmética, la mediana y la moda de cada ejercicio.

·         Investiga sobre: Tipos de muestreo. Que es una variable cuantitativa discreta. Medidas de Dispersión: Desviación estándar, desviación media y varianza. Aprovecha el internet al máximo, a continuación te propongo algunos links para que los consultes y amplíes  toda esta temática de estadística:

 http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html  http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml

http://html.rincondelvago.com/estadistica_15.html 
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada.

LA MAGIA DE LA LECTURA

INDICE

1. AVIONES PROPULSADOS POR MICROONDAS

2.  BUENAS Y MALAS VIBRACIONES

3. VIBRACIONES AL SERVICIO DE LA SALUD

4. VIBRACIONES NOCIVAS

5. HISTORIA DEL CÁLCULO

6. LOS FRACTALES

7. APLICACIÓN DE FUNCIONES REALES

1. AVIONES PROPULSADOS POR MICROONDAS

Imagine un avión que no transporta combustible a bordo y que puede permanecer volando medio año. O imagine una nave espacial cuyas orbitas pueden ajustarse empleando motores impulsados por rayos microondas transmitidos desde la tierra. Con menos combustible a bordo, se puede transportar una mayor carga al espacio. Los avances de la tecnología de las microondas pueden hacer realidad tales sueños.

La transmisión de rayos de microondas que es muy parecida a la transmisión de ondas de radio, excepto que trabaja con niveles de potencia mayores. Un transmisor envía energía con microondas, la cual se recibe por una antena distante y se convierte en otra forma de energía, comúnmente eléctrica. Las ondas transfieren energía sin movimiento de materia.

Se adelantan investigaciones sobre el potencial de la energía en forma de microondas, en el centro de investigación Lewis de la NASA en Cleveland, Ohio. Los científicos están trabajando en una misión a Marte, en la cual una nave nodriza en órbita alrededor del planeta transmite rayos de microondas para energizar una nave pequeña a control remoto. Tal nave puede descender, posarse sobre la superficie y descargar un vehículo para la exploración  de la superficie marciana para recolectar muestras. Se estima que la nave pequeña podría recorrer alrededor del 40% de Marte sin reabastecerse de combustible.

¿Qué ventajas podría tener la potencia a partir de microondas cuando se compara con otras fuentes de energía tales como la propulsión a chorro, química y nuclear.

2. BUENAS Y MALAS VIBRACIONES

Se dice que un cuerpo vibra cuando sus partículas se hallan influenciadas por un movimiento oscilatorio. Las vibraciones son un fenómeno común tanto en  la naturaleza como en las máquinas y sistemas artificiales creados por el ser humano. Dependiendo de ciertos factores, las vibraciones pueden causar diferentes sensaciones que van desde una simple incomodidad hasta graves alteraciones de la salud. Sin embargo, los efectos de la vibraciones en muchas ocasiones son usados para el tratamiento de enfermedades, mediante el desarrollo de instrumentos donde el movimiento oscilatorios la herramienta fundamental de las terapias. Las aplicaciones de las vibraciones en la medicina son innumerables, y van desde la terapia respiratoria, fonoaudiología y la terapia física hasta las exploraciones espaciales.

3. VIBRACIONES AL SERVICIO DE LA SALUD

En muchos salones de recién nacidos se utilizan osciladores de alta frecuencia para facilitar la respiración de los neonatos. Estos producen vibraciones que generan corrientes de aire (como un pequeño ventilador), que ayudan en la difusión de gases hacia los pulmones que aun no se encuentran completamente formados. Las oscilaciones de alta frecuencia también son utilizadas para ayudar a los sordos y a los hipoacústicos a percibir señales sonoras. Existe un equipo que detecta los sonidos de determinada frecuencia e intensidad, y los convierte en oscilaciones de mayor frecuencia que pueden ser detectadas mediante el tacto. De esta manera, estas personas disfrutar de placeres como el de sentir la música; y percibir señales de advertencia, como los pitos de los carros, que pueden significar la diferencia entre la vida y la muerte.

Las oscilaciones también pueden ser utilizadas con éxito para evitar algunas de las dolencias que afectan a las astronautas. Sus huesos y músculos liberados de la tensión normal de la gravedad, se debilitan en forma alarmante: los músculos se atrofian y los huesos pierden masa y se vuelven frágiles.

Los astronautas hacen ejercicio varias horas al día con la ayuda de dispositivos que incluyen resortes, elásticos y bombas de vacio para ofrecer resistencia y simular el peso del cuerpo; sin embargo, sus esqueletos se debilitan. Un grupo de la NASA sugiere que se puede prevenir la perdida de los huesos parándose sobre una plataforma vibrante durante diez o veinte minutos cada día. Dicha plataforma vibra a noventa hertz y Cada pequeña oscilación proporciona una aceleración equivalente a un tercio de la gravedad terrestre. Aunque las vibraciones son imperceptibles, a tenido  un profundo efecto en contrarrestar la perdida de tejido óseo  en animales de laboratorio como pavos, ovejas y ratas. Además de los astronautas, esta terapia puede ser usada para tratar algunos de los millones de personas que sufren de osteoporosis, es decir, pérdida de masa ósea y las mujeres adolescentes con densidad ósea muy baja.

4. VIBRACIONES NOCIVAS

En algunos casos las vibraciones producidas por las maquinas pueden transmitirse al cuerpo humano o algunas de sus partes y afectarlos negativamente. Las vibraciones nocivas pueden ser generadas por los procesos de transformación mecánica de materiales, por el mal diseño y funcionamiento de las maquinas e incluso por su función normal. Sus efectos dependen de la zona del cuerpo que se ve afectado, de la frecuencia de las vibraciones y del tiempo de exposición. En máquinas como los carros, motos u otros medios de transporte, el funcionamiento del motor y los alternadores, al igual que las irregularidades del terreno sobre el que circulan, producen vibraciones. Estas vibraciones repercuten sobre todo el cuerpo, y sus efectos pueden ser variados. Cuando las exposiciones son prolongadas pueden afectar la región lumbar, mientras que las de cortas duración afectan el sistema nervioso causando fatiga, dolor de cabeza e insomnio. Las de muy baja frecuencias como las producidas por los motores de aviones provocan vibraciones del aparato vestibular del oído originando alteraciones en el sentido del equilibrio. Las frecuencias bajas y medias actúan sobre el sistema óseo afectando la columna vertebral y provocando dolores cervicales; actuando sobre el sistema digestivo provocando hemorroides y diarreas; sobre la visión, provocando disminución de la agudeza visual, sobre el sistema respiratorio y ocasionalmente sobre el sistema cardiovascular. Las vibraciones producidas en los procesos de transformación de materiales, generadas por los choques entre las piezas de la maquinaria y los elementos que va a ser transformados, afectan principalmente la parte del cuerpo que está en contacto con la maquinaria, generalmente las manos y los brazos. Los huesos y los tendones se debilitan y en algunos casos se deforman, se produce pérdida de sensibilidad y en algunos casos también puede verse afectado el sistema auditivo. Este tipo de vibraciones son originadas por prensas, martillos neumáticos y herramientas manuales.

5. HISTORIA DEL CÁLCULO

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo o de las matemáticas.

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar  desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos. Esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas o piedras.

Se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con extremada frecuencia. He aquí algunas de las civilizaciones que contribuyeron notablemente a esta solución,  generando un proceso evolutivo de las matemáticas.

La Civilización Egipcia  llevaba la pauta  con el avance en sus conocimientos matemáticos, inventando el primer sistema de numeración  basado en la implementación de jeroglíficos. La civilización  babilónica, crearon otros sistemas de numeración dando solución al problema de contar los objetos, implementando un método sexagesimal. Las Civilizaciones como la China Antigua  y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal  jeroglífico,  con la gran cualidad de que éstas implementaron el número cero y la creación de los números irracionales;  Los avances  obtenidos  de las culturas China e India  aún son utilizados actualmente.  En la Antigua Mesopotamia  se introduce el concepto de número inverso, además de las soluciones  a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones. Su avance fue tal,  que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones. Fue en Grecia  donde se hizo popular la creación de escuelas, en donde los grandes pensadores de la época  daban resolución a los problemas más populares de geometría, algebra, trigonometría y construcción de límites. Por esto a Grecia se le considera como la cuna de esta ciencia. En la época del renacimiento  aparece el cercano oriente como conocedor de las matemáticas. La historia  no es tan antigua como en el lejano oriente, su aporte es de gran magnitud, especialmente con la aparición de gran cantidad de obras escritas por los grandes matemáticos de la época. Uno de los grandes aportes de esta  cultura,  se obtuvo en la introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números radicales, además se estableció un sistema único de números algebraicos, con lo que se hizo posible expresar ecuaciones en forma general.

El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.

Después de esta larga evolución,  las matemáticas entraron en el siglo XIX, en donde se postularon los fundamentos de las matemáticas modernas. Los avances en la resolución de ecuaciones y en lo que hoy conocemos  como cálculo, hicieron de esta época la de mayor riqueza para la ciencia  matemática.

Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales. Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el cálculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus avances. Las matemáticas, actualmente son la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos.

6. LOS FRACTALES

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, es decir, se subraya como cierta repetición perceptible e inacabable, creciente, decreciente o igual,  multiplicativa, cíclica o no simétrica de  entidades. El término fue propuesto por el matemático Benoit mandelbrot en 1975. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

Las formas fractales, en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías y las espirales, como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan hechos extraordinarios que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja que una rama o un árbol.

Aunque muchas estructuras naturales tienen estructuras de tipo fractal, un fractal matemático es un objeto que tiene características detalladas en escalas arbitrariamente pequeñas, es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales tiene autosimilaridad exacta o estadística, su dimensión de no es entera y puede ser definido recursivamente.

Las técnicas de fractales han sido utilizadas en la comprensión de datos, así como en una variedad de disciplinas científicas, cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música., se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia. Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares pueden hoy tomar sus conceptos y aprovecharlos en sus respectivas áreas de conocimiento. La teoría de fractales, hace parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia.

7. APLICACIÓN DE FUNCIONES REALES

Generalmente  se hace uso de las funciones reales, aún cuando el ser humano no se  da cuenta, en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales.  Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona  un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. Muchas son las aplicaciones de la función lineal como en el caso de la medicina.  Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Al igual que el estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial determinada.